Domainとは？
function（関数）は、入力に対して出力が1つだけであるものをいいます。入力は1つでも複数でもかまいませんが、出力は1つだけです。
そして入力としてどんな値を受け付けるか、というのが、そのfunctionの domain です。
domainの決め方は二通りあります。
🟢 functionの性質上決まるもの
たとえば分数形式の関数であれば、分母がゼロになるような入力を受け付けることはできません。
(例1) $y=\frac{1}{x}$ では、$x=0$はdomainから必ず除外されます。
(例2) $y=\ln{x}$ では、他に断り書きがなければ$x\gt 0$がdomainとなります。
🟢 問題文などで与えられるもの
functionの性質上決まるものに加えて、問題文などの設定でdomainが定められていることもあります。このように決まるdomainをrestricted domainと呼ぶこともありますが、単にdomainとも言われます。問題文をよく読んでください。
Rangeとは？
入力のdomainのわかったfunctionで、その入力に対する出力の範囲をrangeといいます。
通常はfunctionの最大値や最小値がそのrangeの両端にくることが多いですが、端の点がdomainやrangeに含まれるかどうかに気をつける必要があります。
domainの両端に対応する$y$の値がそのままrangeになるとは限りません。このことにも注意が必要です。
試験で役立つヒント
⛔よくある間違い
Question: Find the range $y = x^2$ for the domain $-1\lt x \lt 2$
Your Answer: $y=(-1)^2=1$ when $x=-1$. $y=2^2=4$ when $x=2$. The range is $1\lt y \lt 4$.
⚠️ domainの両端がそのままrangeの両端になるわけではない。
上記の問題では、グラフは以下のようになっています。
与えられた$x$の範囲に対して$y$の取りうる値の範囲がrangeなので、この問題のrangeの正解は、
$0\le y \lt 4$
となります。
不等号のイコールにも気をつけてください。$x=0$のとき$y=0$という値を取りうるので、rangeの左側の不等号にはイコールが含まれています。また$x=2$のとき$y=4$になるのですが、domainでは$x=2$という点は含まれないので、それに対応する$y=4$もrangeには含まれません。したがって右側の不等号はイコールなしです。
セットで覚える周辺英語表現
（注）以下の解説は、本記事関連の文脈で使われる用語や表現における意味です。
Inequality symbol : 不等号（$\gt, \ge, \lt, \le$）のことです。読み方は前から順に「greater than, greater than or equal to, less than, less than or equal to」です。
Inequality : 不等号を含む式のことで、日本語では不等式といいます。
Strict inequality : 等号を含まない不等式で、特に「等号を含まない」を強調したいときに使われる表現です。
At least / At most : それぞれ「最小でも○○」「最大でも○○」という意味です。「○○以上」「○○以下」に相当します。たとえば「a is at least 3.」は「$a\ge 3$」です。
Inclusive : domainやrangeを不等式ではさんであらわすとき、不等号ではなく言葉であらわすときに使われます。「$x$ is between $2$ and $4$, inclusive」とあれば「$2\le x \le 4$」を意味します。inclusiveがなければ「$2\lt x \lt 4$」です。
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