概要
直線上のparticle motionを扱った問題です。二つのparticleについて、displacementやvelocityの関数が一部だけ与えられており、両者の動きの特徴を解き明かしていく問題です。
AP CalculusではAB、BCともに頻出事項の一つです。
A
Hのvelocityが問われていますから、Hのposition $x_H(t)$ を時間$t$で微分し、$t=1$のときの値を求めます。
答案には$x_H(t)$の微分が必要であることを最初に記述します。そのあと以下の計算を実行します。この計算にはchain ruleを使います。
\begin{align}
v_H(t)=x’_H(t)&=e^{t^2-4t}\times (t^2-4t)’\\
&=e^{t^2-4t}\times (2t-4)
\end{align}
したがって、
\begin{align}
v_H(1)&=e^{1^2-4\times 1}\times (2\times 1-4)\\
&=-2e^{-3}
\end{align}
なお、この値は負の値であり、Hが左（$x$軸の負の向き）に向かって動いていることを意味しています。
[答案例]
Assume $v_H(t)$ is a velocity of H. This is obtained by the following derivative.
$v_H(t)=x’_H(t)=(2t-4)e^{t^2-4t}$
Therefore, the velocity at $t=1$ is
$v_H(1)=-2e^{-3}$.
[採点のポイント 2点]
・$x_H(t)$の微分を考えその式を書くことで1点
・答で1点
B
HとJが逆方向に動いているような時刻が問われているので、両者のvelocityの符号を比較します。
HのvelocityはAの問題でわかっています。Jのvelocityは問題文で与えられています。
$v_H(t)=(2t-4)e^{t^2-4t}$
$v_J(t)=2t(t^2-1)^3$
まずHについて考えます。$v_H(t)=0$となるのは$0\lt t\lt 5$の範囲では$t=2$のみであり、以下のように判断できます。
\[
v_H(t) \begin{cases}
\le 0 \quad \text{for} \quad 0\le t\le 2\\
\gt 0 \quad \text{for} \quad 2\lt t\le 5
\end{cases}
\]
次にJについて考えます。$v_J(t)=0$となるのは$0\lt t\lt 5$の範囲では$t=1$のみであり、以下のように判断できます。
\[
v_J(t) \begin{cases}
\le 0 \quad \text{for} \quad 0\le t\le 1\\
\gt 0 \quad \text{for} \quad 1\lt t\le 5
\end{cases}
\]
したがって\1\lt t\lt 2$の間で動きが逆向きになっていることがわかります。
[答案例]
From Part A, the velocity of H is expressed as $v_H(t)=(2t-4)e^{t^2-4t}$.
For particle H, the velocity becomes $0$ at $t=2$. Its motion directions are
To negative $x$ for $0\le t\le 2$
To positive $x$ for $2\lt t\le 5$
For particle J, the velocity becomes $0$ at $t=1$. Its motion directions are
To negative $x$ for $0\le t\le 1$
To positive $x$ for $1\lt t\le 5$
Therefore, the two particles move in the opposite direction for the time interval of $1\lt t\lt 2$. During this interval, H is moving to the negative $x$, while J is moving to the positive $x$ directions.
[採点のポイント 3点]
・$x’_H(t)$と$v_J(t)$の符号の比較をすることで1点
・HかJのいずれかのparticleで符号の判定が正しくできていることで1点
・最後に説明つきの答を記述して1点
C
$t=2$においてJのspeedが増加しているか減少しているか、理由とともに答えるという問題です。
$v’_J(2)\gt 0$と既に与えられているので、$v$-$t$グラフ上では右上がりであることがわかります。
あとは$v_J(2)$の符号が判定できれば情報はそろいます。
$v_J(2)=2\times2\times(2^2-1)^3=4\times3^3=108\gt 0$
となっているので、Jは$t=2$において$x$の正の向きに動いており、そこからの$v$-$t$グラフが右上がりであることを考えればspeedは増加しているということがわかります。
[答案例]
Because $v_J(2)\gt 0$ as shown in B and $v’_J(2)\gt 0$, its speed is increasing.
[採点のポイント 1点]
・speedが増加中という答に、合理的な理由が添えられていれば1点
D
Jの初期位置が与えられたとき、$t=2$での位置を答える問題です。次のような定積分であらわされます。
\begin{align}
x_J(2)&=\int_0^2{v_J(t)dt}+x_J(0)\\
&=\int_0^2{2t(t^2-1)^3dt}+7\\
&=\left[\dfrac{1}{4}(t^2-1)^4\right]_0^2+7\\
&=27\\
\end{align}
[答案例]
The initial position at $t=0$ is $x_J(0)=7$ as given. The position at $t=2$ is calculated as the following integration.
\begin{align}
x_J(2)&=\int_0^2{v_J(t)dt}+x_J(0)\\
&=\int_0^2{2t(t^2-1)^3dt}+7\\
&=\left[\dfrac{1}{4}(t^2-1)^4\right]_0^2+7\\
&=\dfrac{1}{4}(3^4-(-1)^4)+7\\
&=27
\end{align}
[採点のポイント 3点]
・定積分の式が正しく記述されていることで1点
・不定積分が正しく示されていることで1点
・最終的な答で1点だが、答案例の下から2行めだけでも1点となる
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