[AP Calculus Unit 4] Contextual Applications of Differentiation(1)

4.1 Interpreting the Meaning of the Derivative in Context

関数のDerivativeは、瞬間の変化の割合instantenious rate of changeを意味しています。

粒子の運動など、文章題で瞬時の変化が問われる問題は頻出です。

$f(x)$の微分$f'(x)$の単位は、$f(x)$の単位を$x$の単位で割ったものになっていることに気をつけてください。

たとえば、変数$t$を時間[s]とし関数$f(t)$を移動距離[m]としましょう。$f(t)$を$t$で微分した$f'(t)$は[m/s]という単位となり、これは速さを表しています。

4.2 Straight-Line Motion

particle motionの問題です。まずここでは1次元的な動きを考えましょう。

$s=f(t)$という関数を考えます。$s$はparticleの座標、$t$は時間です。

このときparticleのvelocity $v$は以下の式で表されます。

$v=\dfrac{ds}{dt}$

particleのspeedはvelocityの絶対値$|v|$です。

またparticleのacceleration $a$は以下の式で表されます。

$a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^2s}{dt^2}$

これらの計算を元に、particleが$s$のどちらの向きに動いているのかを問われる問題が頻出です。またそのときのspeedやトータルの移動距離distance travelledが問われることもあります。

(a)
$t=1$は$f(t)$の有効な範囲内にあるので、$f(t)$を$t$で微分します。chain rulesを使います。

\begin{align}
v(t)&=\dfrac{d}{dt}f(t)\\
&=e^{t^2-4t}\times (t^2-4t)’\\
&=e^{t^2-4t}(2t-4)
\end{align}

$t=1$として以下の値を得ます。

$v(1)=e^{1^2-4\times 1}\times (2\times 1-4)=-2e^{-3}$

(b)
$v(t)$が負になるような$t$の範囲を求めます。

$v(t)=e^{t^2-4t}(2t-4)\lt 0$

指数関数$e^{t^2-4t}$の部分は常に正なので、

\begin{align}
2t-4\lt 0\\
t\lt 2\\
\therefore 0\lt t\lt 2
\end{align}